数学 2次方程式解説

2次方程式は中学3年生の中でも、とても難しく2次方程式で置いていかれる人も多くいます。なので、今回はそういった問題を詳しくまとめていきたいと思います。

Contents

問題

図のように縦p、横qの長方形の花壇の周囲に幅ａの道が付いている。この道の面積をs、道の真ん中を通る線の長さをｌとするとき、s＝alとなることを証明しなさい。

道の面積sは

s＝（p+2a）（q+2a）–pq

＝pq+2ap+ 2aq +4a²–pq

＝ 2ap + 2aq+4a² …①

l＝2（p+a）+ 2（a+q）

＝2p+2a+2a+2q

＝2p +2q +4a だから

ａl＝a（2p+2q+4a）

＝2ap+2aq+4a²…②

①、②からs＝ａl

このようになりますが１つずつ部分点になっているので気をつけて証明しましょう。

①、一辺がx cmの正方形がある。この正方形の縦を4cm長くし、横を4cm短くした長方形を作るとき、正方形と長方形どちらの面積がどれだけ大きいですか。

（解答・解説）

正方形の面積…x²cm

長方形の面積（x+4）（x–4）＝ x²–16cm

なので、正方形の面積の方が16cm²大きい。

②、a、bを自然数とするとき、x²+♠x+36を（x+a）（x+b）の形に因数分解できるように、♠に自然数を入れます。♠に当てはまる自然数を全て見つけなさい。

（解答・解説）a、bの組みは、1×36＝36→37、2×18＝36→20、3×12＝36→15、4×9＝36→13、6×6＝36→12

よって、12、13、15、20、37

上のように連続する整数の2乗の差は、その2数の和に等しいことを証明しなさい。

（証明）nを整数とするとき、れんぞくするふたつのせいすうはn、n+1と表される。2乗の差は（n+1）²–n² ＝ n²+2n+1–n² ＝ 2n+1

2数の和は n+（n+1）＝ 2n+1

したがって、連続するする２つの整数の2乗の差は、その2数の整数の2乗の差は、その2数の和に等しい。

上の図のように線分AB上に点Cをとり、AB、AC、CBをそれぞれ直径とする半円をかく。AC＝2a cm、CB＝2b cmとするとき、色をつけた部分の面積を求めなさい。

解答 πab cm²

はっきりいって今回の問題を全部解けたら相当すごいと思います。なので解けなかった人は何度も解き直して解けるようになるといいです。